В этом разделе описывается сплайн 2-го порядка, который задаётся двумя точками ( концы сплайна ) и двумя нормалями в этих точках ( необязательно единичными ):

class Spline2d
{
    Vector2d a, b, c;
    mutable bool isDef;
    mutable Def<double> curv;
    mutable double aa, ab, bb, aaa, abc;
public:
    Spline2d () {}
    Spline2d ( const Vector2d & p1, const Vector2d & p2, const Vector2d & n1, const Vector2d & n2 );
    Def<Vector2d> getPoint ( const Vector2d & norm ) const;
    Vector2d getPoint ( double par ) const
    {
        return c + ( b + a * par ) * par;
    }
    Vector2d getNormal ( double par ) const
    {
        return ( b + a * ( par + par ) ).rightPerpendicular().setNorm2();
    }
    double getLength ( double par = 1 ) const;
    double getCurvature ( double par ) const;
    double getCurvatureAvg () const;
};

Имеются две функции getPoint. Одна из них возвращает точку кривой с указанной нормалью, если такая есть, а вторая возвращает точку по параметру в диапазоне от 0 ( точка p1 ) до 1 ( точка p2 ). Функция getNormal возвращает нормаль, функция getLength - длину, функция getCurvature - кривизну кривой по параметру, а функция getCurvatureAvg - среднюю кривизну дуги.

Пример использования этого класса можно посмотреть в приложении DEMO.

Описание класса Vector2d находится здесь.
Описание шаблона классов Def находится здесь.

Исходники находятся в approx2d.cpp