Матричная норма - это функция удовлетворяющая следующим свойствам:
       f ( A ) ≥ 0
       f ( A + B ) ≤ f ( A ) + f ( B )
       f ( α * A ) = | α | * f ( A )
где A и B - это матрицы, α - скаляр.

Чаще всего используют норму Фробениуса:
       | A |_F = √ сумма квадратов всех элементов
и p-нормы, которые определены через векторные нормы:
       | A |_p = sup | A*x |_p / | x |_p,    где p ≥ 1 и вектор x ≠ 0.

Наиболее важными из p-норм являются 1, 2 и ∞-нормы ( A _{m, n} ):

m      | A |1  = max j   ∑  | aij |   i = 1

    | A |₂ = √ максимальное собственное значение A^T*A

n      | A |∞  = max i   ∑  | aij |   j = 1

Некоторые свойства матричных норм:

       | A |₂ ≤ | A |_F ≤ √ n | A |₂

       max | a_ij | ≤ | A |₂ ≤ √ mn max | a_ij |

       | A |₁ / √ m ≤ | A |₂ ≤ √ n | A |₁

       | A |_∞ / √ n ≤ | A |₂ ≤ √ m | A |_∞

       | A |₂ | A |₂ ≤ | A |₁ | A |_∞