Матричные нормы

Матричная норма - это функция удовлетворяющая следующим свойствам:
       f ( A ) ≥ 0
       f ( A + B ) ≤ f ( A ) + f ( B )
       f ( α * A ) = | α | * f ( A )
где A и B - это матрицы, α - скаляр.

Чаще всего используют норму Фробениуса:
       | A |F = √ сумма квадратов всех элементов
и p-нормы, которые определены через векторные нормы:
       | A |p = sup | A*x |p / | x |p,    где p ≥ 1 и вектор x ≠ 0.

Наиболее важными из p-норм являются 1, 2 и ∞-нормы ( A m, n ):
  m
     | A |1  = max j     | aij |
  i = 1
    | A |2 = √ максимальное собственное значение AT*A
  n
     | A |  = max i     | aij |
  j = 1
Некоторые свойства матричных норм:

       | A |2 ≤ | A |F ≤ √ n | A |2

       max | aij | ≤ | A |2 ≤ √ mn max | aij |

       | A |1 / √ m ≤ | A |2 ≤ √ n | A |1

       | A | / √ n ≤ | A |2 ≤ √ m | A |

       | A |2 | A |2 ≤ | A |1 | A |

Примеры вычисления этих норм находятся в разделе Класс Matrix.
Наверх

Hosted by uCoz